はじめに

　確率変数 $X \sim N(0, 1)$ について、 $E\left[ X ^ n \right]$ を求める方法を知りたかったので、導出方法を少し整理しました。

導出の方針と導出結果

　結論だけを知りたい方のために、まず導出結果を書いておきます。

$E\left[ X ^ n \right] = \begin{cases} \dfrac{n!}{2 ^ {\frac{n}{2}} \left( \frac{n}{2}\right)!} & (n {\rm が偶数}) \\ 0 & (n {\rm が奇数}) \end{cases} \tag{1}$

　本記事では、(1)式をモーメント母関数とマクローリン展開を用いて導出します。

導出

　まず、一般的に $e ^ s$ のマクローリン展開は

$e ^ s = \displaystyle{\sum _{k=0} ^ \infty} \frac{s ^ k}{k!} \tag{2}$

です。また、標準正規分布のモーメント母関数は

$M(t) = e ^ {\frac{t ^ 2}{2}}$

です。したがって、(2)式に $s = \dfrac{t ^ 2}{2}$ を代入することで、標準正規分布のモーメント母関数のマクローリン展開は、

$\begin{eqnarray} e ^ {\frac{t ^ 2}{2}} &=& \displaystyle{ \sum _{k=0} ^ \infty} \frac{1}{k!} \left( \frac{t ^ 2}{2} \right) ^ k \\ &=& \displaystyle{ \sum _{k=0} ^ \infty} \frac{1}{2 ^ k k!} t ^ {2k} \end{eqnarray} \tag{3}$